TRIGONOMETRÍA

TRIGONOMETRÍA:

¿Qué es?:

La trigonometría es una rama importante de las matemáticas dedicada al estudio de la relación entre los lados  y un ángulo rectángulo y una circunferencia.

Seno: Seno del ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.

Se nombra sen B.

Debe destacarse que el seno es un número positivo nunca mayor que 1 (un cateto no puede nunca ser superior a la hipotenusa).

Coseno: Coseno del ángulo B: es la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa.

Se nombra cos B.

Debe destacarse, también, que el coseno es un número positivo nunca mayor que 1 (un cateto no puede nunca ser superior a la hipotenusa).

Tangente: Tangente del ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto contiguo al ángulo.

Se nombra por tg B

Cosecante: Cosecante del ángulo B: es la razón inversa del seno de B.

Se denomina por cosec B.

Secante: Secante del ángulo B: es la razón inversa del coseno de B.

Se denomina por sec B.

Cotangente

Cotangente del ángulo B: es la razón inversa de la tangente de B.

Se denomina cotg B.

Ejercicios:

1.De las siguientes igualdades la correcta es:

2.De las siguientes igualdades cuál es la correcta:

4.Elige la opción correcta según el ángulo rectángulo dado:

APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA A DIFERENTES CIENCIAS:

La triangulación es una aplicación de la trigonometría  que es utilizada por los astrónomos para calcular la distancia a las estrellas cercanas.

En geografía, se utiliza para medir la distancia entre puntos de referencia.

En arquitectura se utiliza para calcular las distancias y las fuerzas relacionadas con los elementos de la diagonal.

La trigonometría ha aportado mucho en nuestra sociedad como por ejemplo la construcción de casas o edificaciones las diferentes medidas que se deben hacer. La trigonometría es de mucha utilidad en la ingeniería civil, para el cálculo preciso de distancias, ángulos de inclinación o de peralte en una carretera, etc.

Es parte esencial en la topografía, sin ella sería imposible conocer distancias, coordenadas, medidas angulares, entre otras. Gracias a ella se puede determinar la posición de la tierra, la posición de un objeto, de una persona, de un vehículo o una nave, usando el sistema de posicionamiento: GPS

La trigonometría se utiliza en los sistemas de navegación por satélite. Por ejemplo, un piloto tiene que saber en qué ángulo despegar y cuándo dar la vuelta a un cierto ángulo en el cielo con el fin de alcanzar el aeropuerto correspondiente para aterrizar.

La trigonometría también se aplica en medicina por medio de un electrocardiograma. Un electrocardiograma es un diagnótico en el que se obtiene un registro gráfico de la actividad eléctrica del corazón en función del tiempo.

En un electrocardiograma se estudian las ondas mecánicas periódicas, en donde aparecen funciones trigonométricas como sen y cos, es este caso el período es la longitud de la onda y la amplitud es la intensidad.

FUNCIONES

Funciones

 CONCEPTO:

Una función es una relación establecida entre dos variables que asocia a cada valor de la primera variable (variable independiente x), un único valor de la segunda variable (variable dependiente y).

Esta relación se representa mediante y = f(x).

Las funciones se pueden determinar de varias formas:

- Mediante una tabla de valores.

- Mediante su expresión analítica.

- Mediante su gráfica.

Gráfica:

El eje horizontal se llama eje X o eje de abscisas.

El eje vertical se llama eje Y o eje de ordenadas.

El punto O, donde se cortan los dos ejes, es el origen de coordenadas.

Las coordenadas de un punto cualquiera P se representan por (x, y).

La primera coordenada se mide sobre el eje de abscisas, y se la denomina coordenada x del punto o abscisa del punto.

La segunda coordenada se mide sobre el eje de ordenadas, y se le llama coordenada y del punto u ordenada del punto.

El primer cuadrante sería (+,+) porque tanto el el eje de la y como de la x es positivo.

El segundo cuadrante sería (-,+) porque el eje de la y es positivo y el eje de la x, al estar a la izquierda del 0 será negativo

El tercer cuadrante sería (-,-) ya que el eje de la x está a la izquierda del 0 y el de la y está por debajo del 0.

El cuarto cuadrante sería (+,-) ¿ sabes por qué?

EJERCICIO:

Elige la respuesta correcta:

a)(-4,0)

b)(0,-4)

c)(-4,-4)

Tabla de valores: 

Una tabla es una representación de datos, mediante pares ordenados, expresan la relación existente entre dos magnitudes o dos situaciones.

La siguiente tabla muestra la variación del precio de las patatas, según el número de kilogramos que compremos.

Ejercicios: 

Completa la tabla que relaciona el lado de un cuadrado con su perímetro:

Representación gráfica:

Las gráficas describen relaciones entre dos variables.

La variable que se representa en el eje horizontal se llama variable independiente o variable x.

La que se representa en el eje vertical se llama variable dependiente o variable y.

La variable y está en función de la variable x.

Para interpretar una gráfica, hemos de observarla de izquierda a derecha, analizando cómo varía la variable dependiente, y, al aumentar la variable independiente, x

Una función es una relación entre dos magnitudes, de tal manera que a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la segunda, llamada imagen.

El precio de un viaje en taxi viene dado por:

y = 3 + 0.5 x

Siendo x el tiempo en minutos que dura el viaje.

Como podemos observar la función relaciona dos variables, x , y.

x es la variable independiente.

y es la variable dependiente (depende de los minutos que dure el viaje).

TEOREMA DE THALES Y TEOREMA DE PITÁGORAS

TEOREMA DE THALES

CANCIÓN

Si dos rectas cualesquiera se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.

Ejemplos:

1.   Las rectas a, b y c son paralelas. Halla la longitud de x.

1.   Las rectas a, b son paralelas. ¿Podemos afirmar que c es paralela a las rectas a y b?

Sí, porque se cumple el teorema de Thales.

Teorema de Thales en un triángulo

Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triángulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC.

Ejemplo:

1.-Para poder aplicar el teorema de Thales necesitamos…

a) dos rectas paralelas y varias rectas cualesquiera que cortan a las anteriores.

b) dos rectas cualesquiera y varias rectas paralelas entre sí que pueden serlo o no a las anteriores.

c) dos rectas cualesquiera y varias rectas paralelas entre sí que corten las anteriores

2.- Podemos aplicar el teorema de Thales en triángulos cuando...

a) formar un segmento a partir de varias de sus partes.

b) Las dos respuestas anteriores son correctas.

c)dividir un segmento en partes iguales.

3.- Sabiendo que las rectas r, s y t son paralelas, la longitud de x es

a)2,5cm

b)3cm

c) No se puede calcular

4.- Sean a y b dos rectas cualesquiera y r y s dos rectas que las cortan. Si los segmentos que determinan a y b son m = 5.5, n = 4, m' = 2.5 y n' = 2 entonces...

¿se cumple el Teorema de Thales?

¿son paralelas?

TEOREMA DE PITÁGORAS

Suma los cuadrados azules más los cuadrados verdes:

¿Cuál es el resultado?............

¿Y si haces la raíz cuadrada del total de cuadrados amarillos?

¿cuál es el resultado?

Ya estás hecho todo un Pitagorín.

Un triángulo rectángulo es un triángulo que tiene un ángulo recto, que como recordaremos mide 90º. El lado más largo se llama hipotenusa, y se denominan a menudo con la “c”. Los otros lados se llaman catetos y se les asignan la “a” y “b”.

El cuadrado del lado “a” más el cuadrado del lado “b” es igual al cuadrado de la hipotenusa “c”.

Imaginemos que tenemos un triángulo con los catetos de longitud 3 y 4 y tenemos que encontrar la hipotenusa. En este caso, nuestro lado que falta es el “c”. Ahora mira la fórmula más arriba. El primer paso es la sustitución, en este caso, los valores que conocemos de “a” y “b”. El siguiente paso es calcular los cuadrados.

Todavía no conocemos el valor de “c”. Acabamos de saber que c² = 25 y debemos recordar que la raíz cuadrada de x² es x.

Si se toma la raíz cuadrada de un cuadrado, se vuelve al número original. Esto se debe a que el cuadrado y la raíz cuadrada son operaciones inversas. Ellas se deshacen entre sí, se “tachan”.

Necesitamos el valor de "c" y no de c², la raíz de "c" se va con el cuadrado y, al calcular la raíz de 25, obtenemos que el valor de "c" corresponde a 5.

Comprobación del Teorema de Pitágoras

Recurso para demostrar el Teorema de Pitágoras

Para realizar esta actividad vais a utilizar figuras de construcción de Lego. A continuación, le vais a ir haciendo fotos y vais a subirlas al blog en la parte que corresponda.

Primero vamos a montar los cuadrados de los catetos y después el cuadrado de la hipotenusa.

¿Si juntamos los dos cuadrados de los catetos serán igual al cuadrado de la hipotenusa? ¡¡Vamos a comprobarlo!! Juntamos los cuadrados azules y rojos.

¡Queda un cuadrado igual!  por lo tanto… la suma de los cuadrados de los catetos sí es igual al cuadrado de la hipotenusa!!

Tenéis que agregar las fotos a la, parte de blog que corresponda.